在這篇文章之中，我們使用延續法去計算一個三勢阱玻色 在這篇文章之中，我們使用延續法去計算一個三勢阱玻色 在這篇文章之中，我們使用延續法去計算一個三勢阱玻色 在這篇文章之中，我們使用延續法去計算一個三勢阱玻色 在這篇文章之中，我們使用延續法去計算一個三勢阱玻色 在這篇文章之中，我們使用延續法去計算一個三勢阱玻色 在這篇文章之中，我們使用延續法去計算一個三勢阱玻色 在這篇文章之中，我們使用延續法去計算一個三勢阱玻色 在這篇文章之中，我們使用延續法去計算一個三勢阱玻色 在這篇文章之中，我們使用延續法去計算一個三勢阱玻色 -愛因斯坦凝聚，而這個玻色 愛因斯坦凝聚，而這個玻色 愛因斯坦凝聚，而這個玻色 愛因斯坦凝聚，而這個玻色 -愛因斯坦凝聚的自旋由度為 愛因斯坦凝聚的自旋由度為 愛因斯坦凝聚的自旋由度為 愛因斯坦凝聚的自旋由度為 愛因斯坦凝聚的自旋由度為 愛因斯坦凝聚的自旋由度為 1並且被 與一個時間 與一個時間 獨立並且在質量守恆和磁化下的偶合 獨立並且在質量守恆和磁化下的偶合 獨立並且在質量守恆和磁化下的偶合 獨立並且在質量守恆和磁化下的偶合 獨立並且在質量守恆和磁化下的偶合 獨立並且在質量守恆和磁化下的偶合 獨立並且在質量守恆和磁化下的偶合 GPEGPEGPE操控著。 操控著。
在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 在這之中我們把自旋獨立的耦合常數和相關作為延 續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合續法的延參數 ，並且我們將一個基態或激發中非常小耦合當作延續法的起點。 當作延續法的起點。 當作延續法的起點。 當作延續法的起點。
整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 整個數值計算的過程中，我們分析了耦合常以及各種三重勢阱對玻 色-愛因斯坦凝聚基態結構的影響並且展現了在自旋獨立耦合常數 愛因斯坦凝聚基態結構的影響並且展現了在自旋獨立耦合常數 愛因斯坦凝聚基態結構的影響並且展現了在自旋獨立耦合常數 愛因斯坦凝聚基態結構的影響並且展現了在自旋獨立耦合常數 愛因斯坦凝聚基態結構的影響並且展現了在自旋獨立耦合常數 愛因斯坦凝聚基態結構的影響並且展現了在自旋獨立耦合常數 愛因斯坦凝聚基態結構的影響並且展現了在自旋獨立耦合常數 愛因斯坦凝聚基態結構的影響並且展現了在自旋獨立耦合常數 愛因斯坦凝聚基態結構的影響並且展現了在自旋獨立耦合常數 愛因斯坦凝聚基態結構的影響並且展現了在自旋獨立耦合常數 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 以及自旋相關的耦合常數這兩種作用力在幾不同狀況下基態 解和其相對應能量的計算結果。 解和其相對應能量的計算結果。 解和其相對應能量的計算結果。 解和其相對應能量的計算結果。 解和其相對應能量的計算結果。

In this thesis, a pseudo-arclength continuation method (PACM) is employed to compute the ground state of spin-1 Bose-Einstein condensates (BEC) in triple-well potentials. The BEC is governed by the time- independent coupled Gross-Pitaevskii equations (GPE) under the conservations of the mass and magnetization. We choose spin-independent and spin-exchange coupling constants as the continuation arameters. The continuation curve starts from a ground state or an excited state with very small coupling parameters. Our numerical schemes allow us to inves- tigate the effect of the coupling constants and study the ground state structure in various triple-well potential. We also demonstrate numerical results on the ground state and their corresponding energies of spin-1 BEC with repulsive/attractive and ferromagnetic/antiferromagnetic interactions.

Contents

1 Introduction 1

2 The Model 3

3 Numerical Schemes 8

3.1.Pseudo-Arclength Continuation Method 8
3.2.Initial Points for the PACM 11

4 Numerical Results 15

4.1.Potential.I 15
4.2.Potential.II 16
4.3.Potential.III 19

5 Conclusion 22

6 References 23

[1] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Mathews, C. E. Wieman, and E.
A., Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor,
Science 269 (1995) 198-201.
[2] E. Allgower and K. Georg, Numerical Continuation Methods: An Intro-
duction, Springer-Verlag, New York, 1990.
[3] C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, and R. G. Hulet, Evidence
of Bose-Einstein condensation in an atomic gas with attractive interac-
tions, Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 1687-1690.
[4] S.-L. Chang, C.-S. Chien, Adaptive continuation algorithms for comput-
ing energy levels of rotating Bose-Einstein condensates, Comput. Phys.
Comm. 177 (2007) 707-719.
[5] C. J. Myatt, E. A. Burt, R. W. Ghrist, E. A. Cornell, and C. E. Wie-
man, Production of two overlapping Bose-Einstein condensates by sym-
pathetic cooling, Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 586-589.
[6] P. K÷osiewicz, J. Broeckhove, W. Vanroose, Using pseudo-arclength con-
tinuation to trace the resonances of the Schrödinger equation, Comput.
Phys. Comm. 180 (2009) 545-548.
[7] D. M. Stamper-Kurn, M. R. Andrews, A. P. Chikkatur, S. Inouye, H.-J.
Miesner, J. Stenger and W. Ketterle, Optical con…nement of a Bose-
Einstein condensate, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 2027-2030.
[8] W.-J. Huang and S.-C. Gou, Groundstate energy of the spinor Bose-
Einstein condensate, Phys. Rev. A 59 (1999) 4608-4613.
[9] S.-L. Chang, C.-S. Chien, B.-W. Jeng, Computing wave functions of non-
linear Schrödinger equations: a time-independent approach, J. Comput.
Phys. 226 (2007) 104-130.
[10] W. Bao, I-L. Chern, and F.-Y. Lim, E¢ cient and spectrally accurate nu-
merical methods for computing ground and …rst excited states in Bose-
Einstein condensates, J. Comput. Phys. 219 (2006) 83654.
[11] D. R. Romano and E. J. V. de Passos, Population and phase dynamics
of F = 1 spinor condensates in an external magnetic …eld, Phys. Rev.
A 70 (2007) 043614-043620.
[12] M. Moreno-Cardoner, J. Mur-Petit, M. Guilleumas, A. Polls, A. San-
pera, and M. Lewenstein, Predicting spinor condensate dynamics from
simple principles, Phys. Rev. Lett. 99 (2007) 020404-020407.
[13] T.-L. Ho, Spinor Bose condensates in optical traps, Phys. Rev. Lett. 81
(1998) 742-745.
[14] Tomoya Isoshima, Kazushige Machida, and Tetsuo Ohmi, Spin-domain
formation in spinor Bose-Einstein condensation, Phys. Rev. A 60 (1999)
4857-4863.
[15] T.-C. Lin and J. Wei, Ground state of n-coupled nonlinear Schrödinger
equations in Rn, n  3, Commun. Math. Phys. 255 (2005) 629-653.
[16] W. Bao and H. Wang, A mass and magnetization conservative and en-
ergydiminishing numerical method for computing ground state of spin-1
Bose-Einstein condensates, SIAM J. Numer. Anal. 45 (2007) 2177-2200.
[17] W. Bao and F.-Y. Lim, Computing ground states of spin-1 Bose-Einstein
condensates by the normalized gradient ‡ow, SIAM J. Sci. Comput. 30
(2008) 1925-1948.
[18] M.-S. Chang, Q. Qin, W. Zhang, Y. Li and Michael S. Chapman, Coher-
ent spinor dynamics in a spin-1 Bose condensate, Nature Phys. 1 (2005)
111-116.
[19] D. Cao, I-L. Chern and J.-C. Wei, On ground state of spinor Bose-
Einstein condensates, Preprint, 2010.
[20] J. Mur-Petit, M. Guilleumas, A. Polls, A. Sanpera, and M. Lewenstein,
Dynamics of F = 1 87Rb condensates at …nite temperatures, Phys. Rev.
A 73 (2006) 013629-013634.
[21] E. G. M. van Kempen, S. J. J. M. F. Kokkelmans, D. J. Heinzen, and
B. J. Verhaar, Interisotope determination of ultracold Rubidium interac-
tions from three high-precision experiments, Phys. Rev. Lett. 88 (2002)
093201-093204.
[22] M. Takahashi, V. Pietilä, M. Möttönen, T. Mizushima, and K. Machida,
Vortex-splitting and phase-separating instabilities of coreless vortices in F = 1 spinor Bose-Einstein condensates, Phys. Rev. A 73 (2009) 023618-
023631.
[23] Y.-C. Kuo , W.-W. Lin , S.-F. Shieh, and W. Wang, A minimal en-
ergy tracking continuation method for coupled nonlinear Schrödinger
equations, J. Comput. Phys. 228 (2009) 7941-7956.
[24] Y.-C. Kuo , W.-W. Lin , S.-F. Shieh, and W. Wang, A hyperplane-
constrained continuation method for near singularity in coupled non-
linear Schrödinger equations, Applied Numerical Mathematics (2010),
doi:10.1016/j.apnum.2009.11.007.
[25] Matuszewski, M. and Alexander, T. J. and Kivshar, Y. S., Excited spin
states and phase separation in spinor Bose-Einstein condensates, Phys.
Rev. A, 80 (2009) 023602-023610.
[26] S.-M. Chang, Y.-C. Kuo, W.-W. Lin, S.-F. Shieh, A continuation
BSOR-Lanczos-Galerkin method for positive bound states of a multi-
component Bose-Einstein condensate, J. Comput. Phys. 210 (2005) 439-
458.
[27] Jen-Hao Chen, I-Liang Chern, Weichung Wang, Exploring Ground
States and Excited States of Spin-1 Bose-Einstein Condensates by Con-
tinuation Methods, J. Comput. Phys. 230 (2011) 2222–2236.
[28] Weizhu Bao and Fong Yin Lim, Computing Ground States of Spin-1 Bose–Einstein Condensates by the Normalized Gradient Flow, SIAM J.
Sci. Comput., 30 (2008) 1925–1948.
[29] Pei-Gen Yan, Shen-Tong Ji, Xue-Shen Liu, Symmetry breaking and tun-
neling dynamics of F = 1 spinor Bose–Einstein condensates in a triple-
well potential, Physics Letters A, 77 (2013) 878–884.
[30] A. Benseny, S. Fernández-Vidal, J. Bagudà, R. Corbalán, A. Picón,
L. Roso, G Birkl and J. Mompart, Atomtronics with holes: Coherent
transport of an empty site in a triple-well potential, Phys. Rev. A 82
(2010) 013604-013611.
[31] R.W. Spekkens and J. E. Sipe, Spatial fragmentation of a Bose-Einstein
condensate in a double-well potential, Phys. Rev. A 59 (1999) 3868-3877.
[32] D. Ananikian and T. Bergeman, Gross-Pitaevskii equation for Bose par-
ticles in a double-well potential: Two-mode models and beyond, Phys.
Rev. A 73 (2006) 013604-013618.