摘 要
本研究目的是探討透過數學教學案例提昇教師比與比值教學的專業知識。研究者於校外成立數學案例討論團體，透過五位國小教師參與前測、四次案例討論、後測……等方法蒐集相關資料。討論的案例內容包含「比和比值的概念」、「相等的比」及「比語意情境類型及困難度」有關教師比與比值的數學知識、學習者數學認知知識以及數學教學知識。本研究發現透過數學教學案例的討論，能提昇教師比與比值教學的專業知識，包括：(一)數學知識方面：透過案例討論教師們概念能獲得釐清並建立相關數學概念，使教師們的數學概念更趨完善，而且更能掌握教材；(二)在學習者數學認知知識方面：藉由案例的研讀及討論，教師們更能察覺學生的迷思概念及解題策略；(三)在教學知識方面：教師們在教學順序的安排上更趨完整及精準。而研究結果也顯示，透過數學教學案例的討論，教師們教學專業知識的成長為多元且有其差異性，並促進教師數學教學信念的改變。

關鍵字：比、解題策略、迷思概念

Abstract

The purpose of the study was to enhance teachers’ professional knowledge of teaching ratio through teaching cases in mathematics. The researcher organized a team to discuss various cases in mathematics teaching and collected relevant data by pretests, verbatim of cases and posttests… and so on.

The contents of the cases include “the concepts of ratio”, “equivalent proportions” and “types and their difficulties to teach ratio in various scenarios and to express precise concepts semantically”. The discussion concluded the knowledges of areas and teaching skills, and how the learners responded to the ways of teaching.

The research found that teachers could enhance their professional knowledges of ratio through teaching cases in mathematics. The research contained three main sections: (1) Specialized knowledges of mathematics: Teachers clarified mathematic concepts and established relevant mathematical languages. They could have better command of using the materials and their ideas of teaching mathematics could be more perfect. (2) Organized knowledges of mathematics for student: teachers could be awared of the learners’ misconceptions and problem solving strategy. (3) Knowledge of teaching mathematics: teachers could arrange the steps in teaching certain concepts and abtain better results.

The study also showed that teachers upgrated multiple professional teaching knowledges and skills through these discussions, and established their special abilities to change to better beliefs in teaching.

Keywords：ratio, problem solving strategy, misconceptions

第一章 緒論1
第一節 研究背景與動機1
第二節 研究目的與待答問題2
第三節 名詞解釋2
第四節 研究限制3
第二章 文獻探討4
第一節 數學教學案例4
第二節 數學教學的專業成長8
第三節 比與比值教學的知識12
第三章 研究方法21
第一節 研究架構與研究期程21
第二節 研究對象23
第三節 研究工具24
第四節 資料處理26
第四章 研究結果29
第一節 教師在比與比值數學知識的成長29
第二節 教師在學習者比與比值數學認知知識的成長72
第三節 教師在比與比值教學知識的成長81
第五章 結論與建議90
第一節 結論90
第二節 建議92

參考文獻94
中文部分94
西文部分97
附錄一：案例內容的數學教學知識範疇100
附錄二：前後測題目104

參考文獻
中文部分
王千倖（1999，12月）。案例教學法。論文發表於國立高雄師範大學所主辦之「新世紀中小學課程改革與創新教學」學術研討會，高雄。
石曉玫(2008)。運用學習社群提升偏遠地區幼稚園教師專業成長之研究—以南投縣國民教育幼兒班教師為例。朝陽科技大學幼兒保育碩士班碩士論文，未出版，台中縣。
呂宜玲(2002)。強調溝通與討論之網路建構式電腦輔助學習的研究—以國小數學科新課程比例問題為例。台南：台南師院國民教育研究所碩士學位論文。
吳幸宜(譯) (1994)。學習理論與教學應用。台北：心理。(Margaret E. Gredler）
李源順(1999)。數學教師在校內互動促進自我專業發展的個案研究。國立台灣師範大學數學研究所博士論文。
沈明勳、劉祥通（2002）。分析學生解比例問題文獻－國小數學課程與教學的建議。科學教育研究與發展季刊，27，81-96。
何意中（1988）。國小三、四、五年級學生比例推理之研究。花蓮師院學報，2，387-433。
吳沁珊(2011)。 國小數學教科書比與比值單元之教材分析。國立新竹教育大學數理教育研究所碩士論文。
林碧珍(2000)。在職教師數學教學專業發展方案的協同行動研究。國立新竹師範學院學報，13，115-148。
林碧珍（2000a）。數學教學模式的闡釋---教師布題、學生解題、發表解題、溝通與討論。國教世紀，189，29-34。
林碧珍（2001）。發展國小教師之學生數學認知知識－理論結合實務研究取向的教師專業發展。台北︰師大書苑。
林碧珍(2010)。比與比值初始概念的教學初探。國立新竹教育大學教育學報，27(1)，127-158。
林碧珍、陳慧容(2011)。透過數學教學案例的使用增進教師安排學生解題類型發表順序的認知。載於國立台中教育大學數學教育學系舉辦之「2011第三屆科技與數教育學術研討會論文集」(Proceeding of 2011 The Third Conference on Technology and Mathematics Education)(頁61-70)，台中市。
林福來(1984)。青少年的比例概念發展。科學教育月刊，73，7-26。
林福來、郭汾派、林光賢（1986）。國中生的比例概念發展。科學教育月刊，87，14-42。
林福來(1987)。比例推理能力的研究。載於國科會科教處主編，認知與學習研討會專輯(第一次)，23-45。台北：國科會科教處。
林淑美(1990)。國中生反比例概念的了解。師大數學研究所碩士論文。
南一書局編撰委員會（2009）。國民小學數學課本。第十一冊。臺南市：南一。
高薰芳（2002）。師資培育：教學案例的發展與應用策略。台北市：高等教育出版社。
柳芳宛(2010)。一位六年級教師實踐比與比值教學之行動研究。國立新竹教育大學數理教研究所碩士論文。
翁宜青、劉祥通(2002)。一位三年級學童解比例問題之研究。載於嘉義大學教育學院主編，九十一學年度師範院校教育學術論文發表會論文集(頁. 1195-1220)。嘉義：國立嘉義大學。
翁宜青、劉祥通（2003）。一位國小三年級學生解簡單式比例問題之研究。科學教育研究與發展季刊，31，32-53。
國立編譯館 (1982)。國民小學數學科教學指引第十一冊。台北：台灣書店。
國立編譯館（2001）。國民小學數學教學指引。第十一冊。臺北市：林碧珍。
教育部 (1993)。國民小學課程標準。台北：台捷。
教育部（2003）。國民中小學九年一貫課程綱要。台北：教育部。
莊玉如（2005）。國小四年級學童比例問題解題表現之研究。未出版碩士論文，國立台中教育大學，台中。
郭佩儀（2007）。從比例問題的表面結構和深層結構探究國一學生的解題表現及解題策略情形。未出版碩士論文，國立臺灣師範大學，台北。
陳淑芳（1998）。從鷹架觀念談案例故事在教師專業成長的應用。發表於中華民國幼兒教育改革研究會主辦：「來！說我們的故事-專業成長的對話研討會」，台北。
陳竹村、林淑君、陳俊瑜(2002)。國小數學教材分析—比(含線段圖)。台北：國立教育研究院籌備處。
陳英傑 (1992)。台南師院學生比例概念的研究。台南師院學報，25，319-343。
康軒編撰委員會（2009a）。國民小學數學課本。第十一冊。臺北市：康軒。
張民杰（2001）。案例教學法：理論與實務。臺北市：五南圖書出版公司。
黃寶彰 (2003)。六、七年級學童數學學習困難部分之研究。國立屏東師範學院數理教育研究所碩士論文。
馮朝霖 (1996)。建構主義之哲學觀點與啟示。教育研究雙月刊，49期，7-12。
趙金婷(2000)。學習社群理念在教學上的應用。教育資料與研究，35，60-66。
鄭晉昌(1996)。建構主義與合作學習--CYBERSPACE中的合作學習。教育研究雙月刊，49期，13-17。
鄭詩釧(2005)。國民中小學組織文化與教師專業發展之研究。國立台灣師範大學教育研究所博士論文，未出版，台北市。
歐用生(民85)。教師專業成長。台北：師大書苑。
劉祥通、周立勳（1999）。國小比例問題教學實踐課程之開發研究。中師數理學報，3(1)，3-1-3-25。
劉祥通、施瀚皓（2005）。哪一杯的蜜液比較甜？－從解題類型談教學策略。數學教育，21，75-80。
劉祥通（2007）。分數與比例問題解題分析－從數學提問教學的觀點。台北：師大書苑。
劉秋木（1996）。國小數學科教學研究。台北：五南。
魏宗明、劉祥通（2003）。兒童對數學比例問題的建構。科學教育研究與發展季刊，32，87-108 。
謝堅(2007)。比與比值。大嘴鳥親子雜誌，127，58-61。
饒見維（1996）。教師專業發展：理論與實務。臺北市：五南。





























西文部分
Ball, D. L., & Cohen, D. K. (1999).Developing practice, developing practitioners: toward a practice-based theory of professional development. In L. Darling-Hammond & G. Skyes (Eds.), Teaching as the learning professional: Handbook of policy and practice. (pp. 3-32). San Francisco: Jossey-Bass.
Ball, D. L., Thames, M.H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59 (5), 389-407.
Cannella, G. S. & Reiff, J. C. (1994). Individual constructivist teacher education: Teachers as empowered learners. Teacher Education Quarterly, 21(3), 27-38. EJ 498429.
Dewey, J. (1993). How we think：A restatement of the relation of reflective thinking go the educative process. Chicago: Henry Regnery.
Dooren, W. V., Bock, D., Gillard, E., & Verschaffel, L. (2009).Add？or Multiply？A study of the development of primary school students’ proportional reasoning skills. In M. Tzekaki, M. Kaldrimidou, & H. Sakonidis (Eds.), Proceedings of the 33rd conference of the international group for the psychology of mathematics education, 5, (pp.281-288). Thessaloniki, Greece: PME.
Dooren, W. V., Bock, D., Evers, M., & Verschaffel, L. (2009). Students’ overuse of proportionality on missing-value problems: how numbers may change solutions. Journal for Research in Mathematics Education. 40(2), 187-211.
Fennema, E., & Frankc, M. L. (1992). Teacher’s knowledge and its impact. In D. A. Grouws (Ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp.147-164).
Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Holland Dordrecht: D. Reidel Publishing Co.
Hoffer, A. (1992). Ratios and proportional thinking. In T. Post (Ed.), Teaching mathematics in grades K-8 research-based methods (2nd ed) (pp. 303-330). Needham Heights, MA: Allyn and Bacon.
Hart, k. (1981). Ration and proportion. In K. Hart, D. Kerslake, M. L. Brown, G. Ruddock, D. E. Kuchemann, & M. McCartney (Eds.), Children’s understanding of mathematics: 11~16( pp. 88-101).Oxford, London: Northampton.
Hart, K. M. (1982). Children’s reasoning on ratio and proportion problems. Chelsea College, Univ. of London.
Koehler, M. S. & Grouws, D. A. (1992). Mathematics teaching practices and their effects. In D.A.
Karplus, R., Pulos, S., & Stage, E. K. (1983). Proportional reasoning of early adolescents. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes ( pp. 45-90). NY: Academic Press.
Lamon, S. (1993). Ratio and proportion: Connecting content and children’s thinking. Journal for Research in Mathematics Education. 24(1), 41-61.
Lamon, S. (1994). Ratio and proportion: Cognitive foundations in unitizing and norming. In G. Harel & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 89-120). Albany, NY.: State University of New York Press.
Lamon, S. (1995). Ratio and proportion: Elementary didactical phenomenology. In J. Sowder, & B. Schappell (Eds.), Providing a foundation for teaching mathematics in the middle grades (pp. 167-198). Albany, NY: State University of New York Press.
Lamon, S. (1999). Teaching fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional strategies for teachers. Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.
Lamon, S. (2006). Teaching fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional strategies for teachers(2nd ed). Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.
Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1988). Proportional reasoning. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades (pp. 93-118). Reston, VA: NCTM.
Lin, F. L. (1991). Characteristics of ‘Adders’ in proportional reasoning. Proceeding of the National Science Council(Part D: Mathematics, Science, and Technology Education), 1(1), 1-13.
Lin, P. J. (2002). On enhancing teachers' knowledge by constructing cases in classrooms. Journal of Mathematics Teacher Education. 5(4), 317-349.
Lo, J. J. & Watanabe, T. (1997). Developing ratio and proportion schemes: A story of fifth grader. Journal for Research in Mathematics Education. 28(2), 216-236.
Markovits, Z. V. I. A., &; Smith, M. A. R. G. A. R. E. T. (2008). Cases as tools in mathematics teacher education. The international handbook of mathematics teacher education, 2, 39-64.
Noelting, G. (1980a). The development of proportional reasoning and the ratio concept. Part I- Differentiation of stages. Education Studies in Mathematics, 11, 217-253.
Noelting, G. (1980b). The development of proportional reasoning and the ratio concept. Part II- Problem-structure at successive stages; problem-solving strategies and the mechanism of adaptive restructuring. Education Studies in Mathematics, 11, 331-363.
Miller, B., & Kantrov, I. (1998). A guide to facilitating cases in education. Portsmouth, NH: Reed Elsevier.
Quintero, A. H. (1987). Helping children understand ratios. Arithmetic Teacher, 34(9), 17-21.
Richardson, V. (1997). Constructivist teaching and teacher Education: Theory and Practice. In V. Richardson (Eds.), Constructivist teacher education: building new understandings, (3-14), Washington, DC: Falmer Press.
Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational researcher, 15(2), 4-14.
Shulman, L.S. (1987). Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harvard Educational Review, 57(1), 1~23.
Shulman, J.H. (1992). Case methods in teacher education (pp. 1-30). New York: Teachers College Press.
Singh, P. (2001). Understanding the concepts of proportion and ratio constructed by two grade six students. Educational studies in mathematics, 43, 271-292.
Tourniaire, F. & Pulos, S. (1985). Proportional reasoning: A review of the literature. Education studies in mathematics, 16(2), 181-204.