本研究深入探討晶格式與連續式隨機漫步模型的特性與異同，及其與核工領域應用廣泛之蒙地卡羅粒子遷移模擬的關係。本研究從簡單的晶格式模型進行數學推導得出粒子分布的解析解，並利用程式實現不同情況下粒子擴散的數值解，二者互相比較提供讀者全新視野剖析粒子在空間移動行為的特性，並試圖探索晶格式隨機漫步與真實粒子於空間中遷移行為的關聯性。
由一維空間至三維空間，本研究完成數個不同情節下(不同射源、截面資料、邊界條件等等)的模擬，利用Python程式語言建立晶格式與連續式的單能量群粒子遷移模型，同時推導不同情節下相對應粒子分布的解析解，以作為數值模擬之比較驗證。研究結果顯示兩粒子遷移模型在各個模擬情節下，皆與其理論預測之分佈符合，且用於描述兩種粒子移動模型(晶格式與連續式)的理論型式完全相同，僅需依據粒子遷移維度使用合適的擴散常數型式即可。模擬結果也發現用於描述粒子系統擴散行為的擴散常數於兩模型中有關聯但也有差異，連續式模型的擴散常數正好為晶格式模型的兩倍，且該差異源自於兩種粒子遷移模型針對「移動距離」的取樣方式不同，而非源自於「移動方向」的取樣方式不同。彙整一系列不同問題下針對晶格式與連續式隨機漫步模型的比較，本研究利用理論推導與數值模擬確認二者的類似性與差異性，研究成果可協助連結並解讀簡單晶格式模擬結果的意義，及其與較貼近真實粒子遷移之連續式模型的關係。

In this study, the properties and differences between lattice and continuous random walk model, and their application on Monte Carlo particle transport simulation applying on nuclear engineering are both discussed in detail. Comparing detailed derivation of theoretical particle distribution using lattice random walk with simulation result under several scenarios, this research provides a new perspective to understand particle transportation, trying to find out the relation between lattice random walk and the actual particle transport behavior.
Under different transport condition for one-velocity particle system, such as different space dimension, cross section data of medium, form of particle source, boundary conditions, etc., we constructed lattice and continuous random walk model respectively in each different cases using Python programming language. From one to three dimension, the results shown that two models, given suitable diffusion coefficient, both give us the particle distribution which matches with the analytical solution deduced for each cases. From the simulation results, we found the diffusion coefficient under continuous model would be exactly twice as large as the one under lattice model. Surprisingly, the simulation result shown that this difference is caused by the way we sample the particles’ “moving path length”, instead of the way we sample the particles’ “moving direction.” With organized comparisons, the resemblance and difference between these two models are manifested with the help of mathematical derivation and numerical simulation in our study, giving a deeper understanding about the transport simulation under lattice random walk and its connection to particle transport in real life.

摘要 i
Abstract ii
誌謝 iii
目錄 iv
表目錄 vii
圖目錄 viii
第一章 緒論 1
1.1 前言 1
1.1.1 粒子遷移模型 1
1.1.2 粒子隨機漫步 2
1.2 文獻回顧 3
1.3 研究動機與目的 5
第二章 研究方法與程式演算法 7
2.1 研究方法 7
2.1.1 粒子晶格隨機漫步模型 7
2.1.2 均方位移 11
2.2 程式演算法 12
2.2.1 隨機亂數 12
2.2.1.1 碰撞/作用事件 12
2.2.1.2 移動方向 13
2.2.1.3 移動距離 15
2.2.2 粒子遷移模型與模擬程式之建立 16
2.3 程式模擬驗證 18
2.4 擴散常數 22
第三章 一維粒子遷移模擬 27
3.1 粒子於無限長直一維軸空間移動之機率密度函數 27
3.1.1 晶格式模型之模擬結果與討論 27
3.1.2 連續式模型之模擬結果與討論 29
3.2 穩定粒子射源於一維軸空間造成之粒子通量分佈 32
3.2.1 無限長直一維軸空間 32
3.2.1.1 理論值推導 32
3.2.1.2 晶格式模型的模擬結果與討論 34
3.2.1.3 連續式模型之模擬結果與討論 36
3.2.2 具吸收邊界之一維軸空間 38
3.2.2.1 模擬結果與討論 38
3.2.3 具反射邊界之一維軸空間 40
3.2.3.1 模擬結果與討論 41
第四章 二維粒子遷移模擬 43
4.1 粒子於二維空間移動之機率密度函數 43
4.1.1 理論值 43
4.1.2 模擬結果與討論 44
第五章 三維粒子遷移模擬 47
5.1 粒子於三維空間移動之機率密度函數 47
5.1.1 理論值 47
5.1.2 模擬結果與討論 48
5.2 粒子點射源於三維空間造成之粒子通量分佈 53
5.2.1 理論值 53
5.2.2 模擬結果與討論 54
5.3 平板粒子射源於三維空間造成之粒子通量分佈 56
5.3.1 無限寬介質 56
5.3.1.1 理論值 57
5.3.1.2 模擬結果與討論 58
5.3.2 具真空邊界且左右不同之厚板介質 60
5.3.2.1 理論值 60
5.3.2.2 模擬結果與討論 61
5.4 厚板可裂變介質中的粒子通量分佈 64
5.4.1 理論值 64
5.4.2 模擬結果與討論 65
第六章 總結與建議 71
6.1 研究成果彙整 71
6.2 未來方向建議 73
參考文獻 74
附錄 I Stirling’s formula用於粒子出現機率F(m,N)之近似 76
附錄 II 利用傅立葉轉換技巧解擴散方程式 78
附錄 III 二維空間粒子機率密度函數 79
附錄 IV 二維平面邊界內包含粒子數 81
附錄 V 三維空間粒子機率密度函數 82
附錄 VI 三維球殼內包含粒子機率 83
附錄 VII具穩定粒子源時之三維球殼內包含粒子數 84
附錄 VIII 具真空邊界之不同介質平板射源 85
附錄 IX 模擬程式列表 87

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