我們回顧Bouchut[1]關於動力方程式在索伯列夫空間中的亞橢圓估計。如果我們假定此解在速率上存在著光滑性，則結果顯示此解在時間和空間上也會存在著光滑性。我們使用三種型式去估計此解在時間和空間上的光滑性：第一是傅立葉方法，第二是霍爾曼德爾交換子，第三是特徵交換子。

We review the hypoelliptic estimates of Bouchut [1] for the kinetic equation in Sobolev spaces. If f is assumed to have the regularity in velocity, then the result is that f also has the regularity in time and space. We use three types to estimate the regularity of f in time and space: one is the Fourier method, another is the Hörmander’s commutator and the other is the characteristic commutator.

1 Introduction and settings . . . . . . . . . . . 1
2 Main results of Bouchut [1] . . . . . . . . . . 1
3 The Fourier method . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1 L^2 estimates . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 L^p estimates . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 The Hörmander’s commutator . . . . . . . . . . 12
5 The characteristic commutator . . . . . . . . . 16
6 Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

[1] F. Bouchut, Hypoelliptic regularity in kinetic equations, J. Math. Pures Appl. 81 (2002) 1135–1159.
[2] M. Bézard, Régularité L^p précisée des moyennes dans les équations de transport, Bull. Soc. Math. France 122 (1994) 29–76.
[3] M. Chaleyat–Maurel, La condition d’hypoellipticité d’Hörmander, Astérisque 84–85 (1981) 189–202.
[4] F. Golse, B. Perthame, R. Sentis, Un résultat de compacité pour les équations de transport et application au calcul de la limite de la valeur propre principale d’un opérateur de transport, C. R. Acad. Sci. Paris Série I 301 (1985) 341–344.