本文探討形式如 $p(z)-\overline{z}$ 與 $r(z)-\overline{z}$ 兩調和函數的零點個數之上界，其中 $p$ 為多項式、$r$ 為有理函數。該結果有一個令人訝異的應用，是給出了在某個天文模型中重力透鏡成像數的上界。

In this thesis, we study bounds for zeros of harmonic functions $p(z)-\overline{z}$ and $r(z)-\overline{z}$, where $p$ is a polynomial and $r$ is a rational function. A surprising applications of results obtained in this study is that we are able to bound the number of gravitational lensed images in some astronomical models.

1　緒論　　　【第 1 頁】

2　名詞定義, 已知定理與預備定理　　 【第 1 頁】
　　2.1　調和函數　 【第 1 頁】
　　2.2　調和多項式　 【第 3 頁】
　　2.3　調和函數的 Jacobian　 【第 4 頁】
　　2.4　調和函數的輻角原理　 【第 5 頁】
　　2.5　有理函數的不動點　　【第 8 頁】

3　多項式的複共軛　　　【第 9 頁】
　　3.1　吸引性與中立性不動點　　【第 9 頁】
　　3.2　排斥性不動點－－正則多項式的情形　　【第 15 頁】
　　3.3　排斥性不動點－－一般情形　　【第 19 頁】
　　3.4　不動點的總個數　　【第 21 頁】

4　有理函數的複共軛　　　【第 21 頁】
　　4.1　吸引性與中立性不動點　　【第 21 頁】
　　4.2　正則有理函數　　【第 26 頁】
　　4.3　一般情形　　【第 28 頁】

5　重力透鏡的成像數　　　【第 29 頁】

6　調和多項式零點個數的一些討論　　　【第 30 頁】

[1] L. Carleson, T. W. Gamelin. 1993. Complex Dynamics, Springer-Verlag, New York.

[2] P. Duren, W. Hengartner, R. S. Langesen. 1996. The argument principle for harmonic functions, The American mathematical monthly 103.5: 411–415.

[3] O. Forster. 1981. Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics (Vol. 81), Springer Science & Business Media-Verlag, New York.

[4] D. Khavinson, G. Neumann. 2006. On the Number of Zeros of certain Rational Harmonic Functions, Proceedings of the American Mathematical Society 134.4: 1077–1085.

[5] D. Khavinson, G. Świątek. 2003. On the Number of Zeros of Certain Harmonic Polynomials, Proceedings of the American Mathematical Society 131.2: 409–414.

[6] M. Meneghetti. 2007. Introduction to gravitational lensing, Lecture scripts.

[7] T. J. Suffridge, J. W. Thompson. 2000. Local behavior of harmonic mappings. Complex Variables, Theory and Application 41: 63–80.

[8] J. H. Teh. 2007. Complexification of real cycles and Lawson Suspension Theorem, Journal of London Mathematical Society 75: 463–478.

[9] A. S. Wilmshurst, Complex harmonic mappings and the valence of harmonic polynomials, Ph.D. thesis, University of York, 1994.

[10] A. S. Wilmshurst, 1998. The valence of harmonic polynomials, Proceedings of the American Mathematical Society: 2077–2081.

[11] H. J. Witt. 1990. Investigation of high amplification events in light curves of gravitationally lensed quasars, Astronomy and Astrophysics 236: 311–322.